刊名： 教学与研究
Teaching and Research
主办： 中国人民大学
周期： 月刊
出版地：北京市
语种： 中文;
开本： 大16开
ISSN： 0257-2826
CN： 11-1454/G4
邮发代号： 2-256
历史沿革：
现用刊名：教学与研究
创刊时间：1953
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高中数学习题一题多解变式与研究
【作者】 李秀忠
【机构】 贵州省福泉市第四中学
【摘要】新课程改革正在如火如荼的进行中，如何贯彻新课程的教学理念是每一个教师思考的问题。对于高中数学教学来说，一题多解正是贯彻新课程的教学理念的一个重要渠道。本文通过对一题多解的教学方法进行全面的分析，结合实际情况，对它在高中数学教学中作用以及实践提出几点建议。【关键词】高中数学；习题课；一题多变；一题多解；探究实践
【正文】
在高中数学教学中，最重要的课型便是数学习题课.毋庸置疑，数学习题课教学对培养和提高学生的数学思维能力具有无可替代的作用.因此，如何提高高中数学习题课的教学效率是一线数学教师关注的问题.笔者经过多年的实践，认为在高中数学习题课中，采取“一题多变、一题多解”的教学策略能有效地提高高中数学课堂教学效率。下面笔者谈谈几点体会。
一、“一题多解”的基本教学原则
1.教学目标导向原则
一切教学活动都需要设置教学目标，不论是新知识的讲解还是旧知识的巩固。由此，教学目标与教学内容限制了教学模式的延伸，教师要想完成既定的教学目标，首先应参照教材与学生情况来制定明确的教学目标和规划可行的教学方案，再在教学实施过程中利用“一题多解”与“多题同解”等变式教学方法，搭配恰当的例题和变式训练题，以达到教学实效性的目的。
2.认知层次结构原则
通过“一题多解”对习题内涵的深层次挖掘，在调动学生数学积极性的同时，让不同层次的学生实现由低层次水平往高层次水平的方向提升；再以“多题同解”、由浅入深的教学方式，让学生循序渐进，最终通过归纳过程，实现数学技能在“质”上的飞跃。
3.典型题型选择原则
高中数学教师的教学任务之一，就是不断扩充教学题库，并按照教学目标进行编排，选择典型练习题进行讲解，不仅让学生掌握知识点和考点，还要因地制宜地采用变式教学，让经典习题与学生学习形成支架与阶梯的关系，最终实现学习效率最大化的教学目的。
4.运用探究创新原则
教师在运用变式教学过程中应遵循探究创新原则，要善于创新教学方案，通过“一题多解”来发掘新习题；通过“多题同解”的趣味性来创设轻松的教学气氛，同时鼓励学生勇于发问，摒弃固有模式，激发求知欲望和探究意识，成为学习的主人。
二、“一题多变”在习题课教学中的应用
在高中数学教学中，所谓“一题多变”就是教师在一道数学题中，从多角度、多方位向学生提出不同的数学问题，以加深学生对数学知识的理解.一题多变能够培养学生融会贯通、举一反三、触类旁通的能力，进而培养学生的创新思维.下面以一道习题为例进行说明.
【例1】已知sinα=45，且α是第二象限的角，求tanα.
解：由于α是第二象限的角，sinα=45cosα=-1-sin2α=-35，tanα=-43.
变式1：已知sinα=45，求tanα.
解：sinα=45>0，所以α是第一或第二象限的角.
若α是第一象限的角，则cosα=35，tanα=43；
若α是第二象限的角，则cosα=-45，tanα=-43.
变式2：已知sinα=m（m>0），求tanα.
解：由条件0<m≤1，所以当0<m
若α是第一象限的角，则cosα=-1-m2，tanα=m1-m2；?
若α是第二象限的角，则cosα=1-m2，tanα=-m1-m2；?
当m=1时，tanα不存在.?
不难看出，本道习题从一道数学题出发，从多角度考查了有关三角函数的诸多知识.这道题能有效地培养学生综合运用数学知识的能力，进而发展学生的数学思维.毫不夸张，在习题课教学中，若学生能将此题弄清楚，则可大大提升课堂教学效率.因为通过这道题的学习，学生能摆脱题海战术，在解题的技巧与能力上有所进步.可见，高中数学习题课教学中，“一题多变”的效益是显著的。
三、“一题多解”在习题课教学中的应用
在高中数学教学中，所谓“一题多解”就是指教师要求学生从不同角度采用不同的方法或策略解决同一道数学题.“一题多解”的教学策略不仅有利于锻炼学生思维的灵活性，而且能够培养和提高学生的数学发散思维.下面以一道习题为例进行说明。
【例2】已知函数f（x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞）.
（1）当a=12时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围.
解：（1）略；（2）方法一：在区间[1，+∞）上，f（x）=x2+2x+ax>0恒成立x2+2x+a>0恒成立.
设y=x2+2x+a，
∵x∈[1，+∞），y=x2+2x+a=（x+1）2+a-1在区间[1，+∞）上单调递增，
所以x=1时，ymin=a+3，于是当且仅当ymin=a+3>0时，函数f（x）>0恒成立，故a>-3.
方法二：在区间[1，+∞）上，f（x）=x2+2x+ax>0恒成立x2+2x+a>0恒成立a>-x2-2x恒成立，故a应大于u=-x2-2x，当x∈[1，+∞）时，u的最大值为-3，所以a>-3.
本题考查的知识点主要是数学函数知识，不难看出，教师若能指导学生用不同的方法解决这道题，可以帮助学生从不同侧面、不同角度思考数学问题，活化数学应用技巧，开阔学生的解题视野。这样可以锻炼学生思维的深度、广度，提高他们的数学发散思维能力和灵活运用数学知识的能力。
在对高中数学教学工作实际开展的过程中，对一题多解进行运用，可以对学生的好奇心进行充分的调动，有利于培养学生的发散性思维，激发学生的学习兴趣，优化学生的数学素质，提高数学教学质量，促使他们积极参与到实际学习的过程中，从而使教学效果以及学习效率得到充分的提高。
参考文献：
[1]李苏.一题多解在高中数学中的运用[J].中学数学，2014（01）.
[2]方腾可.高中数学从一题多解到发散性思维[J].广西教育，2015（11）.
在高中数学教学中，最重要的课型便是数学习题课.毋庸置疑，数学习题课教学对培养和提高学生的数学思维能力具有无可替代的作用.因此，如何提高高中数学习题课的教学效率是一线数学教师关注的问题.笔者经过多年的实践，认为在高中数学习题课中，采取“一题多变、一题多解”的教学策略能有效地提高高中数学课堂教学效率。下面笔者谈谈几点体会。
一、“一题多解”的基本教学原则
1.教学目标导向原则
一切教学活动都需要设置教学目标，不论是新知识的讲解还是旧知识的巩固。由此，教学目标与教学内容限制了教学模式的延伸，教师要想完成既定的教学目标，首先应参照教材与学生情况来制定明确的教学目标和规划可行的教学方案，再在教学实施过程中利用“一题多解”与“多题同解”等变式教学方法，搭配恰当的例题和变式训练题，以达到教学实效性的目的。
2.认知层次结构原则
通过“一题多解”对习题内涵的深层次挖掘，在调动学生数学积极性的同时，让不同层次的学生实现由低层次水平往高层次水平的方向提升；再以“多题同解”、由浅入深的教学方式，让学生循序渐进，最终通过归纳过程，实现数学技能在“质”上的飞跃。
3.典型题型选择原则
高中数学教师的教学任务之一，就是不断扩充教学题库，并按照教学目标进行编排，选择典型练习题进行讲解，不仅让学生掌握知识点和考点，还要因地制宜地采用变式教学，让经典习题与学生学习形成支架与阶梯的关系，最终实现学习效率最大化的教学目的。
4.运用探究创新原则
教师在运用变式教学过程中应遵循探究创新原则，要善于创新教学方案，通过“一题多解”来发掘新习题；通过“多题同解”的趣味性来创设轻松的教学气氛，同时鼓励学生勇于发问，摒弃固有模式，激发求知欲望和探究意识，成为学习的主人。
二、“一题多变”在习题课教学中的应用
在高中数学教学中，所谓“一题多变”就是教师在一道数学题中，从多角度、多方位向学生提出不同的数学问题，以加深学生对数学知识的理解.一题多变能够培养学生融会贯通、举一反三、触类旁通的能力，进而培养学生的创新思维.下面以一道习题为例进行说明.
【例1】已知sinα=45，且α是第二象限的角，求tanα.
解：由于α是第二象限的角，sinα=45cosα=-1-sin2α=-35，tanα=-43.
变式1：已知sinα=45，求tanα.
解：sinα=45>0，所以α是第一或第二象限的角.
若α是第一象限的角，则cosα=35，tanα=43；
若α是第二象限的角，则cosα=-45，tanα=-43.
变式2：已知sinα=m（m>0），求tanα.
解：由条件0<m≤1，所以当0<m
若α是第一象限的角，则cosα=-1-m2，tanα=m1-m2；?
若α是第二象限的角，则cosα=1-m2，tanα=-m1-m2；?
当m=1时，tanα不存在.?
不难看出，本道习题从一道数学题出发，从多角度考查了有关三角函数的诸多知识.这道题能有效地培养学生综合运用数学知识的能力，进而发展学生的数学思维.毫不夸张，在习题课教学中，若学生能将此题弄清楚，则可大大提升课堂教学效率.因为通过这道题的学习，学生能摆脱题海战术，在解题的技巧与能力上有所进步.可见，高中数学习题课教学中，“一题多变”的效益是显著的。
三、“一题多解”在习题课教学中的应用
在高中数学教学中，所谓“一题多解”就是指教师要求学生从不同角度采用不同的方法或策略解决同一道数学题.“一题多解”的教学策略不仅有利于锻炼学生思维的灵活性，而且能够培养和提高学生的数学发散思维.下面以一道习题为例进行说明。
【例2】已知函数f（x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞）.
（1）当a=12时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围.
解：（1）略；（2）方法一：在区间[1，+∞）上，f（x）=x2+2x+ax>0恒成立x2+2x+a>0恒成立.
设y=x2+2x+a，
∵x∈[1，+∞），y=x2+2x+a=（x+1）2+a-1在区间[1，+∞）上单调递增，
所以x=1时，ymin=a+3，于是当且仅当ymin=a+3>0时，函数f（x）>0恒成立，故a>-3.
方法二：在区间[1，+∞）上，f（x）=x2+2x+ax>0恒成立x2+2x+a>0恒成立a>-x2-2x恒成立，故a应大于u=-x2-2x，当x∈[1，+∞）时，u的最大值为-3，所以a>-3.
本题考查的知识点主要是数学函数知识，不难看出，教师若能指导学生用不同的方法解决这道题，可以帮助学生从不同侧面、不同角度思考数学问题，活化数学应用技巧，开阔学生的解题视野。这样可以锻炼学生思维的深度、广度，提高他们的数学发散思维能力和灵活运用数学知识的能力。
在对高中数学教学工作实际开展的过程中，对一题多解进行运用，可以对学生的好奇心进行充分的调动，有利于培养学生的发散性思维，激发学生的学习兴趣，优化学生的数学素质，提高数学教学质量，促使他们积极参与到实际学习的过程中，从而使教学效果以及学习效率得到充分的提高。
参考文献：
[1]李苏.一题多解在高中数学中的运用[J].中学数学，2014（01）.
[2]方腾可.高中数学从一题多解到发散性思维[J].广西教育，2015（11）.
